圈量子引力1.4

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Chapter-1 正则引力

本章是圈量子系列笔记的第一章，介绍正则引力理论。

1.1 -1.3

见前文。

1.4 Ashtekar 变量

Abhay Ashtekar 在1986年给出了广义相对论的一组新的正则变量\cite{Ashtekar1986,Ashtekar1987}，使约束表达式得到了大幅简化，便于考虑量子引力，后来成为了圈量子引力 的基础。以下参照 \inlinecite{Ashtekar2004} 予以简单介绍，相关内容也可参考\cite{liang3,Thiemann2007,Baez1994}。

从 Holst 作用量出发，我们考虑 $3+1$ 分解，其含义与之前 1.1 节中相同，即选择时空的分层 $\phi \colon M \rightarrow \mathbb{R} \times {\mathcal{S}}$，将物理量分解。每点的直和分解 被 $e^{I}{\phantom{I}a}$ 映为 $V = \operatorname{Span}\left{ n^I(x) \right} \oplus V{{\mathcal{S}}}(x)$，其中 $n^I = e^{I}{\phantom{I}a} n^a$。注意到法矢场 $n^a$ 仅与 $\phi$ 和 $g{ab}$ 有关，而同一个 $g{ab}$ 对应的 $e^{I}{\phantom{I}a}$ 还存在 $\SO{3,1}$ 规范自由度，为了方便可以部分固定规范，即固定内部矢量场 $n^I$，例如本文中取为第零基矢 $\xi^I0$。则规范群约化为 $\SO{3}$ 。每点的 $V{{\mathcal{S}}}$ 同构于一固定的三维线性空间 $W$，于是在标架 $e^a{\phantom{a}I}$ 将 $\TB{M}$ 平凡化为 $E=M\times V$ 后，时空的 $3+1$ 分解又将其（局部地）直和分解为 $\left( M \times \mathbb{R} \right) \oplus \left( M \times W \right)$。用 $i,j,k,\cdots$ 作为 $W$ 上的抽象指标，记 $q^i{\phantom{i}I}(x)$ 为 $V{{\mathcal{S}}}$ 到 $W$ 的同构映射。记 $h^I{\phantom{I}J} = \delta^I_{\phantom{I}J} + n^I nJ$ 为 $V$ 到 $V{{\mathcal{S}}}$ 的投影映射，$h_{IJ} = \tensor{\eta}{_I_K} \tensor{h}{^KJ}$ 即 $V{{\mathcal{S}}}$ 上的诱导黎曼度规，它等于 $e^a{\phantom{a}I} e^b{\phantom{b}J} h{ab}$。我们知道 $\varepsilon{abc}:= n^d \varepsilon{dabc}$ 给出 ${\mathcal{S}}$ 上的诱导体元，其标架版本为 $\varepsilon{IJK} := n^L \varepsilon{LIJK}$。通过同构 $q^i{\phantom{i}I}$ 及其逆 $q^I{\phantom{I}i}$ 有 $h^i{\phantom{i}I} := q^i{\phantom{i}J} h^J{\phantom{J}I}$ 及 $W$ 上的度规 $\tensor{h}{_ij} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{q}{^Jj} h{IJ}$ 与体元 $\tensor{\varepsilon}{_i_jk} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{q}{^J_j} \tensor{q}{^K_k} \tensor{\varepsilon}{_I_J_K}$。

称 $e^a_{\phantom{a}I} := \tensor{h}{^a_b} \tensor{e}{^bI} q^i{\phantom{i}I}$ 为空间标架。接下来分解 $\tensor{\omega}{_a^I^J}$，定义 \begin{equation} \tensor{K}{^I_a} := \tensor{h}{^b_a} n_J \tensor{\omega}{_b^I^J} \qc \tensor{K}{^ia} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{K}{^I_a}, \end{equation} 及 \begin{equation} \tensor{\omega}{^I_a} := \tensor{h}{^b_a} n_J \tensor[^\star]{\omega}{_b^I^J} \qc \tensor{\omega}{^ia} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{\omega}{^I_a}, \end{equation} 其中 $\star$ 是 $V$ 上的 Hodge 对偶， \begin{equation} \tensor[^\star]{\omega}{_a^I^J} = \frac{1}{2} \tensor{\varepsilon}{^I^J^K^L} \tensor{\omega}{_a_K_L}. \end{equation}

\begin{Remark} 取 $\tensor{\xi}{^i\alpha} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{\xi}{^I\alpha}$, $\alpha=1,2,3$ 为 $W$ 上的基底。令 $( \tensor{\tau}{\alpha} )\tensor{{}}{^i_j} := \tensor{\varepsilon}{^i_kj} \tensor{\xi}{^k\alpha}$，则三个 $\tensor{{\tau}}{_\alpha^i_j}$ 是 $\so{3}$ 的基底，$\tensor{\tau}{_i^jk} := \tensor{\tau}{\alpha^j_k} \tensor{\xi}{^\alpha_i}$ 是从 $W$ 到 $\so{3}$ 的同构。则 $\tensor{\omega}{_a^i_j} = \tensor{\omega}{^k_a} \tensor{\tau}{_k^i_j}$ 是 $\so{3}$ 值联络。 \end{Remark}

\begin{Property} 当 $\tensor{\omega}{_a^IJ}$ 是与 $e^{I}{\phantom{I}a}$ 相容的洛伦兹联络时，$\tensor{\omega}{^k_a} \tensor{\tau}{_k^i_j} = \tensor{\varepsilon}{^i_k_j}\tensor{\omega}{^ka}$ 是与 $e^{I}{\phantom{I}a}$ 相容的 $\so{3}$ 值联络，$\tensor{K}{^i_a} = \tensor{e}{^i_d} \tensor{h}{^c_a} \tensor{h}{^d_b} \Nabla{c} \tensor{n}{^b}$ 是外曲率的标架形式。 \end{Property}

定义 Ashtekar 联络 \begin{equation} \tensor{A}{^i_a} := \tensor{\omega}{^i_a} + \beta \tensor{K}{^i_a}, \end{equation} 可以算得 \begin{Property} 以 Ashtekar 联络为位型变量，相应的共轭动量为 \begin{equation} \tensor{\tilde{P}}{^a_i} := \frac{1}{\gkappa \beta} \tensor{\tilde{E}}{^a_i}, \end{equation} 其中 \begin{equation} \tensor{\tilde{E}}{^ai} = \sqrt{\abs{\det h}} e^a{\phantom{a}I} = \det(e) e^a_{\phantom{a}I} \end{equation} 是权为1的密度化的 3 标架。 \end{Property}

\nomenclature{$\tensor{A}{^i_a}$}{Ashtekar 联络} \nomenclature{$\tensor{\tilde{P}}{^a_i}$}{与 Ashtekar 联络共轭的动量} \nomenclature{$\tensor{\tilde{E}}{^a_i}$}{权为1的密度化的 3 标架}

联络 $\tensor{A}{^i_a}$ 或 $\tensor{A}{_a^i_j} = \tensor{\varepsilon}{^i_k_j} \tensor{A}{^k_a}$ 对应新的导数算子 $\AD{a}$，记其曲率为 \begin{equation} \begin{split} \tensor{F}{_a_b_i^j} &:= \tensor{\varepsilon}{_i_k^j} \tensor{\dd{}}{_a} \tensor{A}{^k_b} + \left( \tensor{\varepsilon}{_i_l^k} \tensor{A}{^l_a} \right) \wedge \left( \tensor{\varepsilon}{_k_m^j} \tensor{A}{^m_b} \right)
&= \tensor{\varepsilon}{_i_k^j} \tensor{\dd{}}{_a} \tensor{A}{^k_b} + \tensor{A}{^j_a} \wedge \tensor{A}{_i_b}, \end{split} \end{equation} 或 \begin{equation} \tensor{F}{^i_a_b} = \tensor{\dd{}}{_a} \tensor{A}{^i_b} + \tensor{\varepsilon}{^i_j_k} \tensor{A}{^j_a} \wedge \tensor{A}{^k_a}. \end{equation}

\nomenclature{$\AD{a}$}{Ashtekar 联络对应的协变导数} \nomenclature{$\tensor{F}{^i_a_b}$}{Ashtekar 联络对应的曲率}

\begin{Property} 在Ashtekar 变量下，Holst 作用量改写为 \begin{equation} S = \int{\mathbb{R}} \dd{t} \int{{\mathcal{S}}_t} \dd[3]{x} \left( \tensor{\tilde{P}}{^a_i} \tensor{\dot{A}}{^i_a} - \Had(\tensor{A}{^i_a}, \tensor{\tilde{P}}{^ai}, N, n^a, \tensor{\Lambda}{^i}) \right), \end{equation} 哈密顿量 \begin{equation} H = \int{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} \Had := \int_{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} \left( \tensor{\Lambda}{^i} \tensor{G}{_i} + n^a \tensor{V}{_a} + N C \right), \end{equation} 其中三个约束 \begin{equation} \begin{split} \tensor{G}{_i} &= \AD{a} \tensor{\tilde{P}}{^a_i} = \Partial{a} \tensor{\tilde{P}}{^a_i} + \tensor{\varepsilon}{_i_j^k} \tensor{A}{^j_a} \tensor{\tilde{P}}{^a_k},
\tensor{V}{_a} &= \tensor{\tilde{P}}{^b_i} \tensor{F}{^i_a_b} - \frac{1+\beta^2}{\beta} \tensor{K}{^i_a} \tensor{G}{_i},
C &= \frac{\gkappa \beta^2}{2\sqrt{\abs{\det h}}} \tensor{\tilde{P}}{^a_i} \tensor{\tilde{P}}{^b_j} \left[ \tensor{\varepsilon}{^i^j_k} \tensor{F}{^k_a_b} - \left( 1+ \beta^2 \right) \tensor{K}{^i_a} \wedge \tensor{K}{^j_b} \right]
& \qquad + \gkappa \left( 1 +\beta^2 \right) \tensor{G}{^i} \Partial{a} \left( \frac{\tensor{\tilde{P}}{^a_i}}{\sqrt{\abs{\det h}}} \right)\label{eq-constrains_in_Ashtekarconnection} \end{split} \end{equation} 是 Gauss 约束（规范对称引入的新约束）、矢量约束、标量约束，而 \begin{equation} \tensor{\Lambda}{^i} := q^i{\phantom{i}I} \tensor{t}{^a} n_J \tensor[^\star]{\omega}{_a^I^J} \end{equation} 和 $n^a,N$ 是拉氏乘子。 \end{Property}

由于 $\tensor{A}{^i_a}$ 和 $\tensor{\tilde{P}}{^a_i}$ 是共轭变量，其泊松括号为 \begin{equation} \left{ \tensor{A}{^i_a}(x) , \tensor{\tilde{P}}{^b_j}(y) \right} = \tensor{\delta}{^i_j} \tensor{\delta}{^ba} \delta(x,y), \end{equation} 定义 smeared 约束 \begin{equation} G(\Lambda) := \int{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} \tensor{\Lambda}{^i} \tensor{G}{_i},\label{eq-smeared_Gauss_constrain} \end{equation} 它是局部 $\SO{3}$ 规范变换 的生成元，即 \begin{Property} \begin{equation} \left{ \tensor{A}{^i_a}, G(\Lambda) \right} = - \AD{a} \tensor{\Lambda}{^i} \qc \left{ \tensor{\tilde{P}}{^a_i}, G(\Lambda) \right} = \tensor{\varepsilon}{_i_j^k} \tensor{\Lambda}{^j} \tensor{\tilde{P}}{^a_k}. \end{equation} \end{Property} $\tensor{V}{a}$ 和 $C$ 都包含一部分 $\SO{3}$ 规范变换，一种方便的做法是重新定义 smeared 微分同胚约束 \begin{equation} C{\text{Diff}}(v) := \int_{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} \left( \tensor{v}{^a} \tensor{\tilde{P}}{^b_i} \tensor{F}{^i_a_b} - \tensor{v}{^a} \tensor{A}{^i_a} \tensor{G}{_i} \right) \end{equation} 代替矢量约束，可以算得 \begin{Property} \begin{equation} \left{ \tensor{A}{^ia} , C{\text{Diff}}(v) \right} = \Ld{v} \tensor{A}{^i_a} \qc \left{ \tensor{\tilde{P}}{^ai}, C{\text{Diff}}(v) \right} = \Ld{v} \tensor{\tilde{P}}{^a_i}, \end{equation} \end{Property} 并在 smeared 标量约束中去掉 $\tensor{G}{i}$ 项，即 \begin{equation} C(f) = \int{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} f(x) \tilde{C}(x) := \frac{\gkappa \beta^2}{2} \int_{{\mathcal{S}}} \dd[3]{x} f \frac{\tensor{\tilde{P}}{^a_i} \tensor{\tilde{P}}{^b_j}}{\sqrt{\abs{\det h}}} \left[ \tensor{\varepsilon}{^i^j_k} \tensor{F}{^k_a_b} - \left( 1+ \beta^2 \right) \tensor{K}{^i_a} \wedge \tensor{K}{^jb} \right], \end{equation} 常称为哈密顿约束，有如下约束代数 \begin{Property} \begin{equation} \begin{split} \left{ G(\Lambda), G(\Lambda’) \right} &= G\left( \left[ \Lambda, \Lambda’ \right] \right),
\left{ G(\Lambda), C{\text{Diff}}(v) \right} &= - G(\Ld{v} \Lambda),
\left{ G(\Lambda), C(f) \right} &= 0,
\left{ C{\mathrm{Diff}}(u), C{\text{Diff}}(v) \right} &= C{\text{Diff}}([u,v]),
\left{ C{\text{Diff}}(v), C(f) \right} &= - C(v(f)),
\left{ C(f), C(f’) \right} &= - C_{\text{Diff}}(S(f,f’)) - G\left(\tensor{S}{^a}(f,f’) \tensor{A}{^i_a} \right)
&\qquad\qquad - \left( 1+\beta^2 \right) G\left( \frac{\left[ \tilde{P}(f), \tilde{P}(f’) \right]}{\abs{\det q}} \right),\label{eq-constrain_algebra} \end{split} \end{equation} 其中 \begin{equation} \tensor{S}{^a}(f,f’) := f \tensor{D}{^a} f’ - f’ \tensor{D}{^a} f, \end{equation} 而 $\tilde{P}(f)$ 指的是 $\tensor{\tilde{P}}{^a_i} \tensor{D}{_a} f$。 \end{Property}

\nomenclature{$G(\Lambda)$}{smeared 高斯约束} \nomenclature{$C_{\text{Diff}}(v)$}{smeared 微分同胚约束}

至此，我们基本构建了 Ashtekar 变量下的哈密顿理论，以 Ashtekar 联络 $\tensor{A}{^i_a}$ 和动量 $\tensor{\tilde{P}}{^a_i}$ 为正则变量，约束方程加上（为哈密顿量补上边界项的）哈密顿方程即等价于 Einstein 场方程。于是，广义相对论被改写为了一个具有紧致规范群的规范理论，可以参考非阿贝尔规范理论已有的工具进行量子引力的探索，这就是圈量子引力的由来。

最早 Ashtekar 于 1986 年所发表的 Ashtekar 变量\cite{Ashtekar1986}是选择 $\beta = -\ii$ 的情况，此时可以注意到约束的表达式极为简洁： \begin{equation} \begin{split} \tensor{G}{_i} &= \AD{a} \tensor{\tilde{P}}{^a_i},
\tensor{V}{_a} &= \tensor{\tilde{P}}{^b_i} \tensor{F}{^i_a_b},
C &= \frac{\gkappa \beta^2}{2\sqrt{\abs{\det h}}} \tensor{\tilde{P}}{^a_i} \tensor{\tilde{P}}{^b_j} \tensor{\varepsilon}{^i^j_k} \tensor{F}{^k_a_b},\label{eq-remannianconstrain} \end{split} \end{equation} 但缺点是要引入复联络，相当于考虑复化的广义相对论。为了得到物理的信息，需要引入“实性条件”，即把物理状态限制在复相空间中的一个截面上，以保证由 Ashtekar 变量诱导的 $h{ab}$ 和 $\tensor{K}{_a_b}$ 为实张量。在研究过程中物理学家们发现，实性条件给量子化带来了大量困难，于是 1994 年 Barbero 引入了上文所述的实值 Barbero-Immiriz 参数 $\beta$ 代替 $-\ii$，于是有了实变量理论。实 Ashtekar 变量理论与复 Ashtekar 变量理论相比，虽然约束表达式多出了被称为“Lorentz 项”的附加项，复杂了一些，但消除了实性条件，综合来看要更简洁方便一些，因此普遍采用实变量理论。

参考文献