圈量子引力1.3

最近更新于 May 28, 2020 2 分钟阅读时间

Chapter-1 正则引力

本章是圈量子系列笔记的第一章，介绍正则引力理论。

1.3 Palatini 作用量和 Holst 作用量

Palatini作用量是 Hilbert 作用量的改写，在流形上引入标架来替代度规。^[1,2]

设 $\left(V,\eta_{IJ}^{\phantom{I}}\right)$ 是一个带有选定洛伦兹度规的四维矢量空间，称为内部空间（internal space），其中 $I,J,\cdots$ 是 $V$ 上的抽象指标，以与 $M$ 上的区分。我们考虑 $\mathrm{T}\!{M}$ 的平凡化，设有矢量丛同构 $e\colon M\times V\rightarrow\mathrm{T}_{x}{M}$ ，$e(x) := e(x,\cdot)$ 是从 $V$ 到 $\mathrm{T}_{x}{M}$ 的线性同构。按照抽象指标记号，将它记为 $e^{a}_{\phantom{a}I}(x)$ ，称为 $M$ 上的标架场（frame field，4维情况又特别地称为tetrads）。逐点取逆得到丛同构 $e^{-1}\colon\mathrm{T}\!{M}\rightarrow M\times V$ ，$e^{-1}(x) := e^{-1}(x,\cdot)$ 按照抽象指标记号写为 $e^{I}_{\phantom{I}a}(x)$ ，称为对偶标架场，则有 $e^{a}_{\phantom{a}I} e^I_{\phantom{I}b} = \delta^a_{\phantom{a}b} ,\quad e^{I}_{\phantom{I}a} e^{a}_{\phantom{a}J} = \delta^{I}_{\phantom{I}J}.\\\\$ 若满足 $g_{ab}^{\phantom{a}} = \eta_{IJ}^{\phantom{a}} e^{I}_{\phantom{I}a} e^J_{\phantom{J}b},\\\\$ 则称标架场是正交归一的。

我们可以选择 $V$ 上的基底 $\left\{ \xi^I_{\phantom{I}\mu} \right\}$ 及其对偶基 $\left\{ \xi^\mu_{\phantom{\mu}I} \right\}$ ，其中 $\mu=0,1,2,3$，使得 $\eta_{IJ}^{\phantom{a}} := \eta_{\mu\nu}^{\phantom{a}} \xi^\mu_{\phantom{\mu}I} {\xi}^\nu_{\phantom{\nu}J} = -\xi^0_{\phantom{0}I} \xi^0_{\phantom{0}J} + \sum_i \xi^i_{\phantom{i}I} \xi^i_{\phantom{i}J}$ ，其中 $i=1,2,3$，并定义 $e^{a}_{\phantom{a}\mu} := \xi^I_{\phantom{I}\mu} e^{a}_{\phantom{a}I},\\\\$ 则 $\left\{ e^{a}_{\phantom{a}\mu} \right\}$ 构成 $M$ 上每点的正交基底。

正交归一标架丛 $\mathrm{F}\!{M}$ 上的联络等价于其伴丛上的联络。将 $\xi^I_{\phantom{I}\mu}$ 视为 $\mathrm{SO}(3,1)$ 矢量丛 $E = M \times V$ 上截面的基底，将任意截面展开为 $v^I = v^\mu \xi^I_{\phantom{I}\mu}$ ，定义标准平直联络 $\partial_{a}^{\phantom{a}} v^I := \left( \partial_{a}^{\phantom{a}} v^\mu \right) \xi^I_{\phantom{I}\mu},\\\\$ 任何联络（或称协变导数）可表为 $\nabla_{a}^{\phantom{a}}v^I = \partial_{a}^{\phantom{a}} v^I + \omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I} v^J,\tag{1}\\\\$ 其中 $\omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I}$ 是 $\mathrm{so}(3,1)$ 值一形式，称为 spin connection。设 $\mathrm{T}\!{M}$ 上的联络为 $\nabla_{a}^{\phantom{a}} v^b = \partial_{a}^{\phantom{a}} v^b + \Gamma^b_{\phantom{b}ac} v^c,\tag{2}\\\\$ $e^{I}_{\phantom{I}a}$ 可视为 $E \otimes \mathrm{T}^*\!{M}$ 上的截面，规定取坐标基底和截面基底 $\xi^I_{\phantom{I}\mu}$ 下分量定义偏导算符，而协变导数通过满足莱布尼兹律的方式推广到各种张量积丛，有 $\nabla_{a} v^I = e^I_{\phantom{I}b} \nabla_{a} v^b + v^b \nabla_{a} e^I_{\phantom{I}b},\\\\$ 由 (1),(2) 可得 $\nabla_{a}^{\phantom{a}} e^I_{\phantom{I}b} = \partial_{a}^{\phantom{a}} e^I_{\phantom{I}b} - \Gamma^c_{\phantom{c}ab} e^I_{\phantom{I}c} + \omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I} e^J_{\phantom{J}b}.\\\\$ 对矢量值一形式 $v^I_{\phantom{I}a}$ ，定义外微分 $\mathrm{d}_a^{\phantom{a}} {v^I_{\phantom{I}b}} := 2 \partial_{{[a}}^{\phantom{a}} v^I_{\phantom{I}b]} \equiv \xi^I_{\phantom{I}\mu} \mathrm{d}_a^{\phantom{a}} {v^\mu_{\phantom{\mu}b}},\\\\$ 以及协变外微分 $D_a^{\phantom{a}}v^I_{\phantom{I}b}:=2\nabla_{{[a}}^{\phantom{a}}v^I_{\phantom{I}b]}\equiv\mathrm{d}_a^{\phantom{a}}v^I_{\phantom{I}a}+ \omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I}\wedge v^J_{\phantom{J}b},\\\\$ 其中 $\omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I}\wedge v^J_{\phantom{J}b} := 2 \omega_{[a\phantom{I}|J|}^{\phantom{[a}I} v^J_{\phantom{J}b]}$ 。定义挠率形式为 $T^I_{\phantom{I}ab} := D_a^{\phantom{a}} e^I_{\phantom{I}b} = \mathrm{d}_a^{\phantom{a}} e^I_{\phantom{I}b} + \omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I} \wedge e^J_{\phantom{J}b},\\\\$ 及曲率二形式 $F_{abI}^{\phantom{abI}J} := 2D_{[a}^{\phantom{a}} \omega_{b]I}^{\phantom{b]I}J} = \mathrm{d}_a^{\phantom{a}} \omega_{bI}^{\phantom{bI}J} + \omega_{aI}^{\phantom{aI}K} \wedge \omega_{bJ}^{\phantom{bJ}K}.\\\\$

定义 Palatini作用量 $S_{\text{Palatini}}[e,\omega] := \frac{1}{4\kappa} \int_M \varepsilon_{IJKL}^{\phantom{a}} e^{I}_{\phantom{I}a} \wedge e^J_{\phantom{J}b} \wedge {F}_{cd}^{\phantom{cd}KL},\\\\$ 其中 $\varepsilon_{IJKL}^{\phantom{a}}$ 是 $V$ 上与 $\eta_{IJ}^{\phantom{a}}$ 适配的体元。对 $\omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I}$ 变分可得 $D_a^{\phantom{a}}e^I_{\phantom{I}b}=0,\\\\$ 此运动方程即要求联络无挠，此条件由 $e^{I}_{\phantom{I}a}$ 唯一确定了相容联络 $\omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I}$ 。当无挠条件满足时，容易验证 Palatini 作用量变回 Hilbert-Einstein 作用量 $S_{\text{Palatini}}[e,\omega(e)] = \frac{1}{2\kappa}\int_M R[e],\\\\$ 其中 $R[e] = R[g(e)] = F_{ab}^{\phantom{ab}IJ} e^{a}_{\phantom{a}I} e^b_{\phantom{b}J},\\\\$ 故无需详细计算即知对 $e$ 变分可得 Einstein 场方程。

注意到 Palatini 作用量引入了一个 $\mathrm{SO}(3,1)$ 局域规范对称性 $\left( e^{I}_{\phantom{I}a}, \omega_{a\phantom{I}J}^{\phantom{a}I} \right) \mapsto \left( \Lambda_J^{\phantom{J}I} e^J_{\phantom{J}a}, \Lambda_K^{\phantom{K}I} \omega_{a\phantom{K}L}^{\phantom{a}K} \Lambda^L_{\phantom{L}J} + \Lambda_K^{\phantom{K}I} \mathrm{d}_a^{\phantom{a}} \Lambda_K^{\phantom{K}J} \right),\\\\$ 或更紧凑地写为 $$ (e,\omega) \mapsto \left( \Lambda^{-1} e, \Lambda^{-1} \omega \Lambda + \Lambda^{-1} \,\mathrm{d}{\Lambda} \right), $$ 这引入一个第二类约束。

在圈量子引力中十分重要的是 Palatini 作用量的 Holst 修正 $\begin{aligned}S_{\text{Holst}}&:=S_{\text{Palatini}} - \frac{1}{2\kappa} \int_M \frac{1}{\beta} e^{I}_{\phantom{I}a} \wedge e^J_{\phantom{J}b} \wedge F_{cdIJ}^{\phantom{a}}\\&= - \frac{1}{2\kappa} \int_M \,\mathrm{tr}\left[\left( *\left( e \wedge e \right) + \frac{1}{\beta} \left( e \wedge e \right) \right) \wedge F\right],\end{aligned}\\\\$ 容易验证后一项是拓扑项，不改变运动方程。$\beta$ 称为 Barbero-Immiriz 参数。

参考文献

[1] Baez J, Muniain J P. Series on knots and everything: Gauge fields, knots and gravity. Singapore: World Scientific, 1994. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/2324.
[2] Ashtekar A, Lewandowski J. Background Independent Quantum Gravity: A Status Report. Class. Quant. Grav., 2004, 21:R53. DOI: 10.1088/02649381/21/15/R01.

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