圈量子引力1.1-1.2

最近更新于 May 28, 2020 5 分钟阅读时间

Chapter-1 正则引力

本章是圈量子系列笔记的第一章，介绍正则引力理论。

1.1 ADM 形式

为了研究时间演化及对引力进行量子化，我们需要考虑广义相对论的哈密顿描述。我们主要依照文献 [1,2,3] 展开。在拉格朗日描述下，考虑 $n$ 维光滑可定向流形 $M$ ，记 $M$ 上的洛伦兹度规的集合为 $\mathrm{Lor}(M)$，由于微分同胚不变性的规范对称性，广义相对论的位型空间为 ${\mathcal{S}(M)} := {\mathrm{Lor}(M)}/{\mathrm{Diff}(M)}$。理论的拉氏量为 $\mathbf{\mathscr{L}}_{\text{EH}}[j^2 g] := \frac{1}{2\kappa} \mathcal{R}(j^2 g) \mathbf{\varepsilon},\\\\$ 其中 $\kappa = 8\pi \mathrm{G}$ 是耦合常数，$j^2 g$ 是场 $g$ 的 2-jet，$\mathcal{R}[j^2 g]$ 是标量曲率，$\mathbf{\varepsilon}$ 是与 $g$ 适配的体元。也可采用标量密度 $\tilde{\mathscr{L}}_{\text{EH}}$ 表示， $\mathbf{\mathscr{L}}_{\text{EH}}[j^2 g] = \tilde{\mathscr{L}}_{\text{EH}} \mathbf{\epsilon},\\ \tilde{\mathscr{L}}_{\text{EH}} = \frac{1}{2\kappa} f \mathcal{R}(j^2 g),\\\\$ 其中 $\mathbf{\epsilon}$ 是任意定向相容体元，$f$ 是满足 $\mathbf{\varepsilon} = f \mathbf{\epsilon}$ 的正函数。例如，在局部坐标系 $\left\{ x^\mu \right\}$ 下，若坐标系为右手系，即 $n$ 形式 $\,\mathrm{d}{x^1} \wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x^n}$ 与定向相容，则可取定 $\mathbf{\epsilon} = \,\mathrm{d}{x^1} \wedge \cdots \wedge \,\mathrm{d}{x^n}$，此时 $f=\sqrt{-\det g}$，其中 $\det g$ 指坐标系下 $ \left( g_{\mu\nu} \right) $ 的行列式。于是此时有

$$ \tilde{\mathscr{L}}_{\text{EH}} = \frac{1}{2\kappa} \sqrt{-\det g} \mathcal{R}(j^2 g). $$

易证明，Einstein-Hilbert 作用量

$$ S_{\text{EH}}[g] = \frac{1}{2\kappa} \int_M \mathcal{R}[g] $$

的运动方程为真空 Einstein 方程

$$ Ric - \frac{1}{2} \mathcal{R} g = 0, $$

或采取抽象指标形式，写作 $R_{ab} - \frac{1}{2} \mathcal{R} g_{ab}^{\phantom{a}} = 0.\\\\$ 以下张量全部采用抽象指标记号，改用 $g_{ab}^{\phantom{a}}$ 表示度规张量，而 $g$ 表示其行列式。

现在考虑哈密顿描述，这要求我们把时间从时空中分离出来。设时空 $\left( M, g \right)$ 整体双曲，则对时空有拓扑上的要求： $M \cong \mathbb{R} \times {\mathcal{S}}$，其中 ${\mathcal{S}}$ 是 $3$ 维流形 1。设有微分同胚 $\phi \colon M \rightarrow \mathbb{R} \times {\mathcal{S}}$，称为一个分层（foliation）。注意到任取 $\psi \in {\mathrm{Diff}(M)}$，$\phi \circ \psi$ 依然是分层，分层的集合与 ${\mathrm{Diff}(M)}$ 一一对应。记 ${\mathcal{S}}_t := \phi^{-1}(\left\{ t \right\} \times {\mathcal{S}}),\\\\$ 这是类空超曲面，称为 $t$ 时刻的空间。记自然投影 $\pi \colon \mathbb{R} \times {\mathcal{S}} \rightarrow \mathbb{R}$, $\pi_{{\mathcal{S}}} \colon \mathbb{R} \times {\mathcal{S}} \rightarrow {\mathcal{S}}$，则有时间函数 $t := \pi \circ \phi \colon M \rightarrow \mathbb{R}$。此时 ${\mathcal{S}}_t$ 就是等 $t$ 面。$\pi_{{\mathcal{S}}} \circ \phi$ 可以将 $\mathrm{T}\!{{\mathcal{S}}}$ 拖回到 $M$ 上，其元素称为空间矢量，截面称为空间矢量场；进而可以定义空间张量丛和空间张量场。¹另外，超曲面族 $\left\{ {\mathcal{S}}_t \right\}$ 还定义了法余矢丛，其中每个余矢量正比于该点的 $ \,\mathrm{d}{t} $。

考虑 $g$ 的 $3+1$ 分解。我们记 $n_a$ 是单位法余矢场，即 $n^a n_a = -1$ ，则可以验证 $h_{ab} := g_{ab}^{\phantom{a}} + n_a n_b\\\\$ 是空间对称张量，且它是 $g$ 在 $\mathrm{T}\!{{\mathcal{S}}_t}$ 上的限制，我们称其为 $g$ 所诱导的空间度规，这是我们引入的第一个空间量。再考虑“时间部分”，我们引入矢量场 $$ t^a := \left( \pi \circ \phi \right)^* \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)^a, $$ 其中 $\left( \partial/\partial t \right)^a$ 是 $\mathbb{R}$ 中的自然坐标基矢场。则有 $t^a \nabla_{a} t = -1,\tag{1}$ $t^a$ 的积分曲线汇（作为观测者世界线）标志了在微分同胚 $\phi$ 下不同时空点如何“对齐”为“同一空间点”，它们定义了一个参考系。在每点 $p\in {\mathcal{S}}_t$ 作直和分解 $t^a=Nn^a+N^a$ 称 $N$ 为时移函数（lapse function）， $N^a$ 为位移矢量（shift vector）场，这是我们引入的第2、3个空间量。由 (1) 容易算得 $n_a = - N \nabla_{a} t.\\\\$

现在我们来说明，给定 $\phi$，即有了 $\left\{ {\mathcal{S}}_t \right\}$ 、$t$ 和 $t^a$ 的条件下，空间量 $\left( h_{ab} , N, n_a \right)$ 和时空量 $g_{ab}^{\phantom{a}}$ 互相确定，因而 $\left( h_{ab} , N, n_a \right)$ 可以作为位型变量。由 $g_{ab}^{\phantom{a}}$ 给出 $\left( h_{ab} , N, n_a \right)$ 的过程已经在上面写出，而给定 $\left( h_{ab} , N, n_a \right)$ 后，首先将空间张量 $h_{ab}$ 视作 ${\mathcal{S}}$ 上的度量张量，取逆再拖回到 $M$ 上得空间张量 $h_{ab}$ 。由 (2) 知 $$ n^a = \frac{1}{N} \left( t^a - n^a \right), $$ 其中 $n^a = h^{ab} n_b$ 。则 $$ g^{ab} = -n^a n^b + h^{ab} = - \frac{1}{N^2} \left( t^a - n^a \right) \left( t^b - n^b \right) + h^{ab}. $$

描述每张超曲面 ${\mathcal{S}}_t$ 的除了描述内蕴几何的 $h_{ab}$ 之外还有描述它如何嵌入 $M$ 的外曲率 $K_{ab}$ ，定义为 $t^a = K_{ab} := h_{a}^{\phantom{a}c} \nabla_{c} n_b,\\\\$ 我们即将看到它与 $h_{ab}$ 的共轭动量的联系。这从以下命题即可初见端倪：

命题

$K_{ab} = \frac{1}{2} \mathcal{L}_{n} h_{ab},\\\\$ 其中 $\mathcal{L}_{n}$ 表示沿 $n^a$ 的李导数。

这里略去证明，可参见[1,2,3] 等任何相关教材。

还需定义空间量的时间导数，沿 $t^a$ 的李导数是好的候选者，但空间张量的李导数未必还是空间张量，为此定义 $\tilde{\mathcal{L}}_{v} T^{a\cdots}_{\phantom{a\cdots}b\cdots}$ 为 $\mathcal{L}_{v} T^{a\cdots}_{\phantom{a\cdots}b\cdots}$ 的空间投影，即 $\tilde{\mathcal{L}}_{v} T^{a_1\cdots a_k}_{\phantom{a_1 \cdots a_k}b_1 \cdots b_l} := {h}^{a_1}_{\phantom{a_1}c_1} \cdots {h}^{a_k}_{\phantom{a_1}c_k} {h}^{d_1}_{\phantom{d_1}b_1} \cdots {h}^{d_l}_{\phantom{d_l}b_l} \mathcal{L}_{v} {T}^{c_1 \cdots c_k}_{\phantom{c_1 \cdots c_k}d_1 \cdots d_l},\\\\$ 然后即可定义 ${\dot{T}}^{a_1 \cdots a_k}_{\phantom{a_1 \cdots a_k}b_1 \cdots b_l} := \tilde{\mathcal{L}}_{t} T^{a_1\cdots a_k}_{\phantom{a_1 \cdots a_k}b_1 \cdots b_l} = N \tilde{\mathcal{L}}_{n} T^{a_1\cdots a_k}_{\phantom{a_1 \cdots a_k}b_1 \cdots b_l} + \tilde{\mathcal{L}}_{N} T^{a_1\cdots a_k}_{\phantom{a_1 \cdots a_k}b_1 \cdots b_l},\\\\$ 则得到 $\dot{h}_{ab} = 2N K_{ab} + 2 D_{{(a}} {N}_{b)},\\\\$ 其中 $D_{a}$ 是 ${\mathcal{S}}_t$ 上与 $h_{ab}$ 相容的联络。

现在，我们把 $\tilde{\mathscr{L}}_{\text{EH}} = \frac{1}{2\kappa} \sqrt{- \det g} \mathcal{R}$ 用空间量表示。需要借助 Gauss 方程 $\mathcal{R}_{abc}^{\phantom{abc}d} = {h}_a^{\phantom{a}k} {h}_b^{\phantom{b}l} {h}_c^{\phantom{c}m} {h}_n^{\phantom{n}d} \mathcal{R}_{klm}^{\phantom{klm}n} - 2 {K}{_{c[a}} {K}_{b]}^{\phantom{b]}d},\\\\$ 其中 $\mathcal{R}_{abc}^{\phantom{abc}d}$ 是3维流形 ${\mathcal{S}}_t$ 上空间度规 $h_{ab}$ 对应的曲率； ${T}_{[\cdots]}$ 表示对张量 $T$ 反称化。略去所有计算过程，我们得到 $\tilde{\mathscr{L}} = \frac{1}{2\kappa} \sqrt{h} N \left( \mathcal{R} - K^2 + K_{ab} {K}^{ab} \right),\tag{3}$ 其中 $h$ 是 $h_{ab}$ 的分量矩阵的行列式， $\mathcal{R}$ 是 $\mathcal{S}_t$ 上的标量曲率，由 $h_{ab}$ 及其二阶空间导数确定，而 $K_{ab}$ 通过 $K_{ab} = \frac{1}{2N} \left( {\dot{h}}_{ab} - 2 {D}_{(a} {N}_{b)} \right)\\\\$ 由 ${\dot{h}}_{ab}, N, n_a, D_{a}$ 决定，并有 $K = h^{ab} K_{ab}$ 。这说明 3 的确是位型变量 $\left( h_{ab} , N, n_a \right)$ 及其时间导数及空间导数的函数。可求得共轭动量 $\pi_N=\frac{\partial\tilde{\mathscr{L}}}{\partial\dot{N}}=0,\quad\pi^a=\frac{\partial\tilde{\mathscr{L}}}{\partial\dot{N}_a}=0,\tag{4} \\ \pi^{ab} = \frac{\partial\tilde{\mathscr{L}}}{\partial {\dot{h}}_{ab}} = \frac{1}{2\kappa} \sqrt{h} \left( K^{ab} - K h^{ab} \right),\\\\$ 其中 $\pi_{N}$ , $\pi^a$, $\pi^{ab}$ 分别是与 $N$, $n_a$ , $h_{ab}$ 共轭的动量。(4) 给出两个初级约束。去掉一些边界项后，有哈密顿量 $H[N,n_a, h_{ab}, \pi^{ab}] = \frac{1}{2\kappa} \int_{{\mathcal{S}}} \,\mathrm{d}^3{x} \left( N C + n_a V^a \right),\\\\$ 其中 $C := - \frac{\sqrt{h}}{2\kappa} \mathcal{R} + \frac{2\kappa}{\sqrt{h}} \left( \pi_{ab} \pi^{ab} - \frac{1}{2} \pi^2 \right),\\V^a := -2 D_{b} \pi^{ab}.\\\\$ 对 $N$ ， $n_a$ 变分给出两个次级约束，称为标量约束和矢量约束 $C = 0 ,\quad V^a = 0,\tag{5}\\\\$ 可以证明 (4), (5) 已经穷尽了所有约束。

定义smeared 约束 $C(f) := \int_{{\mathcal{S}}} \,\mathrm{d}^3{x} C f ,\quad V ({v}) := \int_{{\mathcal{S}}} \,\mathrm{d}^3{x} V_a v^a,\\\\$ 其中 $f\in C^\infty({\mathcal{S}}), v\in \Gamma(\mathrm{T}\!{{\mathcal{S}}})$ 满足适当的边界条件，可以算得泊松括号 $\begin{align}\left\{V({u}),V({v})\right\}&=2\kappa V(\mathcal{L}_{{u}} {v}),\\ \left\{V({v}),C(f)\right\}&=2\kappa C(v(f)),\\ \left\{C(f),C(f')\right\}&=2\kappa V(fD^af'-f'D^af),\end{align}\\\\$ 又因 $H = \frac{1}{2\kappa} \left( C(N) + V(\mathbf{N}) \right),\\\\$ 知 $H,C,V$ 两两泊松括号弱等于零（在约束面上为零），并且是约束的线性组合，故 ADM 形式的广义相对论是第一类约束系统。

1.2 Quantum Geometrodynamics(QGD)

接下来对上一节得到的广义相对论的哈密顿表述进行正则量子化，得到量子几何动力学（Quantum Geometrodynamics）。但由于体现规范对称性的两个第一类约束的存在，我们需要先介绍这样的约束系统的量子化方法。

第一类约束哈密顿系统的量子化最早由狄拉克发展\cite{dirac2001lectures}，其核心是先连同规范自由度一起量子化得到 $\mathcal{H}_{\text{kin}}$ ，然后将经典约束方程 $\{ C_I = 0 \}_{I \in \mathcal{I}}$ 变为物理状态应满足的方程 $\left\{ \hat{C}_I \left|\psi\right\rangle = 0 \right\}_{I \in \mathcal{I}}$ ，即定义物理态空间 $\mathcal{H}_{\text{phy}}$ 是所有 $\mathrm{ker}\, \hat{C}_I$ 之交。

对于 ADM 形式的广义相对论来说，$N$ 和 $N_a$ 只是拉氏乘子，位型变量为 $h_{ab}$ ，即空间几何的动力学。可选择 $\mathcal{H}_{\text{kin}}$ 为某种 “ $L^2(\mathrm{Riem}{\mathcal{S}})$ ”，其中 $\mathrm{Riem}{\mathcal{S}}$ 表示 $\mathcal{S}$ 上黎曼度规的集合，并采用标准的 Schrödinger 表示 $\begin{align}\hat{h}_{ab} \left|\psi\right\rangle &\leftrightarrow h_{ab} \psi(h),\\ \hat{\pi}^{ab} \left|\psi\right\rangle & \leftrightarrow - \mathrm{i} \hbar \frac{\delta}{\delta h_{ab}} \psi(h).\end{align}\\\\$ $V^a \left|\psi\right\rangle =0$ 定义了空间微分同胚不变的态空间 $\mathcal{H}_{\text{Diff}}$ ，再通过哈密顿约束 $\hat{C} \left|\psi\right\rangle =0\tag{6}\\\\$ 得到物理态空间。这便是量子几何动力学，方程 (6) 即为著名的 Wheeler DeWitt 方程。

但这一方法存在很多问题，例如一开始 $\mathcal{H}_{\text{kin}}$ 就难以定义；在标准 Schrödinger 表示下 $\hat{C}$ 是否是定义良好的算符也不清楚。当经典层面已经有了高度对称性约化，例如宇宙学的情况下，才能很好地使用 Wheeler DeWitt 方程。

参考文献

1 Wald R M. General relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 1989.
[2] 梁灿彬. 微分几何入门与广义相对论: 下册. 2 版. 北京: 科学出版社, 2009.
[3] Thiemann T. Cambridge monographs on mathematical physics: Modern Canonical Quantum General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. DOI: 10.1017/CBO9780511755682.
[4] P.A.M.Dirac. Belfer graduate school of science, monograph series: Lectures on quantum mechanics. Dover Publications, 2001. https://books.google.com.hk/books?id=GVwzb1rZW9kC.

我们之后不区分 ${\mathcal{S}}$ 上的张量和将它拖回到 $M$ 上得到的 $M$ 上的空间张量。 ^{^}

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